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By Stefan Hildebrandt

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Example text

Diese Aussage ergibt sich – ohne geometrische Hilfe – auch aus der folgenden Uberlegung: Die Funktion (16) q(x) := 4ap(x) = (2ax + b)2 − D erf¨ ullt offenbar q(x) ≥ −D und ur x0 = − q(x0 ) = −D f¨ b . 2a Hieraus folgt (17) min {p(x) : x ∈ R} = − D . 4a Somit erhalten wir p(x) ≥ 0 f¨ ur alle x ∈ R ⇔ −D ≥ 0 ⇔ b2 ≤ 4ac p(x) > 0 f¨ ur alle x ∈ R ⇔ −D > 0 ⇔ b2 < 4ac. und Ersetzen wir noch b durch 2b, so ergibt sich Satz 3. F¨ ur a, b, c ∈ R mit a > 0 gilt ax2 + 2bx + c ≥ 0 (bzw. > 0) f¨ ur alle x ∈ R genau dann, wenn b2 ≤ ac (bzw.

Hieraus folgt b < n+1 ∈ N, Widerspruch, denn b ist eine obere Schranke von N. Also ist die Behauptung doch richtig. Wegen der in Satz 5 beschriebenen Eigenschaft der reellen Zahlen nennt man R auch einen archimedisch angeordneten K¨orper. Korollar 2. Zu jedem a ∈ R gibt es ein n ∈ N, so daß −n < a gilt. Beweis. Wenden wir Satz 5 auf −a an, so finden wir ein n ∈ N mit −a < n. Hieraus folgt −n < a. Satz 6. Jede nichtleere Menge nat¨ urlicher Zahlen hat ein kleinstes Element. Beweis. Sei M ⊂ N und M = ∅.

Definition 2 charakterisiert Konvergenz auf die folgende Art: Der Punkt x0 ∈ R ist genau dann Grenzwert der Folge {xn }, wenn in jeder -Umgebung“ U (x0 ) := ” ochstens endlich vielen (x0 − , x0 + ) von x0 (mit > 0) mit Ausnahme von h¨ amtliche Glieder der betreffenden Folge enthalten sind. xn s¨ Es h¨ angt vom jeweils betrachteten Problem ab, mit welcher der beiden Definitionen von Konvergenz man lieber hantieren m¨ ochte. Bei langwierigen Absch¨atzun¨ gen beh¨ alt man oft besser die Ubersicht mit Definition 2, w¨ahrend Definition 1 beispielsweise dann von Vorteil ist, wenn man eine gegebene Folge {xn } mit Hilfe einer bekannten Nullfolge {an } und einer beschr¨ankten Folge {bn } in der Form (4) |xn − x0 | ≤ |an | · |bn | absch¨ atzen kann und dann (vgl.

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