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Example text

Fn,n (a) Bemerkung. h. symmetrisch unter Spiegelung an der Hauptdiagonalen. In Formeln gilt also Hf (a)t = Hf (a). Das Polynom n p2 (h1 , . . 4 Intermezzo: Quadratische Formen 59 des letzten Satzes k¨ onnen wir mittels der Hesseschen schreiben als p2 (h) = ht Hf (a)h. Hier ist auf der rechten Seite das Matrixprodukt der einzeiligen Matrix h t mit Hf (a) und dann mit der einspaltigen Matrix h zu nehmen. Mit der Jacobi-Matrix und der Hesseschen erhalten wir so: Satz. Sei U ⊆ Rn offen, f ∈ C k (U, R), sei a ∈ U und r > 0 so gew¨ ahlt, daß Ur (a) ⊂ U (insbesondere also f (a + h) f¨ ur h ∈ Ur (0) erkl¨ art ist).

Striktes lokales Minimum. Satz. Sei U ⊆ X offen und f : U → R differenzierbar. Besitzt f bei a ein lokales Maximum oder Minimum, so ist Df (a) ≡ 0. Beweis. Es hat ja dann φ(t) := f (a + t v) f¨ ur jeden Vektor v ∈ X einen lokalen Extremwert bei t = 0. Nach dem bekannten Satz aus der Analysis I ist daher φ (0) = 0. Es ist aber φ (0) = Dv f (a) = Df (a)(v). Also ist in der Tat Df (a)(v) = 0 f¨ ur jedes v ∈ X. Im Fall X = Rm liegt also bei a h¨ochstens dann ein lokaler Extremwert vor, wenn ∂f ∂f (a) = 0, .

Xσ(1) ∂xσ(2) · · · ∂xσ(r) ∂x1 ∂x2 · · · ∂xr Beweis. Es gen¨ ugt, die erste Formel in der angef¨ uhrten Bemerkung zu beweisen. Wir zeigen sie zun¨ achst f¨ ur r = 2. Hieraus ergibt sich dann die allgemeine Formel mittels etwas Algebra. Es seien also x, y ∈ X gegeben. Wir w¨ahlen Isomorphismen von Vektorr¨aumen κ : X → Rm , ι : Rn → Y Damit k¨ onnen wir dann f = ι ◦ g ◦ κ, schreiben, wobei g eine Abbildung g : κ(U ) → Rn ist und κ(U ) ⊂ Rm (in der Tat ist f = ι−1 ◦ g ◦ κ−1 ). Man u ¨berlegt sich leicht, daß κ(U ) offene Teilmenge des Rm ist (es sind ja die linearen Abbildungen κ und κ−1 stetig), und daß f wie g zweimal stetig differenzierbar ist.

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