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By Ehrhard Behrends

Das Buch ist im Stil der research 1 geschrieben: Alles wird sehr ausf?hrlich motiviert und entwickelt, und wieder gab es eine besonders in depth Zusammenarbeit mit Studierenden. Neben dem ?blichen Stoff einer research 2 (Funktionenr?ume, Integration, Differentialrechnung f?r Funktionen in mehreren Ver?nderlichen) enth?lt das Buch eine Reihe von Besonderheiten, die es sonst in keinem Lehrbuch gibt. Zum Beispiel ist der Satz von Liouville enthalten, durch den garantiert wird, dass gewisse einfache Funktionen nicht geschlossen integriert werden k?nnen. Im Kapitel "Anwendungen der Integralrechnung" gibt es einen Abschnitt zur Zahlentheorie, in dem Transzendenzbeweise f?r konkrete Zahlen - unter anderem f?r die Zahl e - gef?hrt werden; in diesem Kapitel wird auch der Existenzsatz von Picard-Lindel?f behandelt. Und schlie?lich gibt es noch einen ausf?hrlichen Anhang zum Thema "Englisch f?r Mathematiker": was once muss guy beachten, wenn guy sich auf Englisch ?ber Mathematik unterhalten m?chte?

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Image Analysis and Recognition: 6th International Conference, ICIAR 2009, Halifax, Canada, July 6-8, 2009. Proceedings

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Stability Analysis of Fuzzy-Model-Based Control Systems: Linear-Matrix-Inequality Approach

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Genetic Analysis of Complex Diseases, Second Edition

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The Generalized Riemann Integral

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Es ist klar, dass 11111= = 0 gilt, wenn 1 = 0 ist. Sei umgekehrt 1 E CK mit 11111= = 0 gegeben. Nach Definition des Supremums ist dann für jedes Xo: o ~ 11(xo)1 ~ Also ist l(xo) sup xEK 11(x)1 = 11111= = o. h. 1 muss die Nullfunktion sein. Zu (ii): Vorbereitend bemerken wir: Ist ß eine nicht leere beschränkte Teilmenge von [0, +00 [ und ist a ~ 0, so gilt = asupß; in Kurzfassung schreibt man dafür sup aß = a sup ß. (Beweis dazu: Im Fall a = 0 sind beide Seiten gleich Null, wir dürfen also a > 0 sup{ay I y E ß} annehmen.

3 angewendet. :'S t :'S x + l/k ist KAPITEL 5. FUNKTIONENRÄUME 20 wäre [0,1] als abzählbare Vereinigung endlicher Mengen abzählbar. 4 gezeigt wurde. Es 1 muss also irgendein ~m unendlich sein, und wir wählen ~ := ~m und iJ := - . ) Nun soll die "Versagerfolge" (fn) konstruiert werden. Wir beginnen mit der Auswahl einer Folge (Xt}'EN paarweise verschiedener Elemente aus ~. Es handelt sich insbesondere um eine Folge in [0,1], und da dieses Intervall kompakt ist, muss (XI) eine konvergente Teilfolge enthalten.

In manchen Büchern wird diese Norm auch als 11 . up oder als 11 . 11 ~ax bezeichnet. Meist spricht man jedoch von 11 . 11 00 , die auch "Unendlich"-Norm genannt wird. Der Name hat folgende Begründung: Erklärt man im Fall K = [0,1] und I E C [0,1] weitere Normen, nämlich 1IIIIp := (Jto II(x)jPdx) l/p für p E IR und p ~ 1, so gilt wirklich 1IIIIp -t 1111100 mit p -t 00. 5 zurück, wenn wir uns mit dem Integralbegriff etwas vertrauter gemacht haben. 2. 11 . 11 00 ist eine Norm aul CK. Af1l 00 = ° ~ = 1,\111111 00 , (iii) 111 + 911 00 :S 11111 00 + 11911 00 ' für alle 1,9 ECK, ,\ E lK..

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