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By Gaillard P.

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Example text

3 (Hessinger) Soit G un sous-groupe alg´ebrique infini monomial de SL(4, C) d’image V dans S4 . Alors le groupe G est conjugu´e ` a ∪m∈S mH o` uS= n {I4 , a, b, ab} et H = H2 (n ≥ 1) ou H3 . D´ emonstration. Dans sa th`ese, S. 503]) que tout sous-groupe alg´ebrique infini G de SL(4, C) agissant monomialement sur C4 d’image V dans S4 est conjugu´e `a ∪m∈S mH o` u H = H11 , H12 , H2n (n ≥ 1) ou H3 et 30 S est l’un des ensembles suivants : S3 = {I4 , a, b, ab}, S4 = {I4 , ay1 v1 , by1 v1 , aby1 v1 }.

1], l’indice minimal [k(u) : k] est l’indice d’un sous-groupe 1-r´eductible1 d’indice minimal, ce qui est invariant par ´equivalence projective ([63]). En cons´equence, on peut travailler avec les matrices donn´ees dans [6], mˆeme si elles ne sont pas unimodulaires. Puisque l’existence d’une solution z = e u avec [k(u) : k] = m minimal est ´equivalente `a l’existence d’un semi-invariant de degr´e m produit de formes lin´eaires, notre but est de montrer que pour aucune valeur des param`etres il n’existe de semi-invariant produit de formes lin´eaires de degr´e plus petit que 8, qui est la borne standard pour le type A4 .

Les groupes des familles D1 et D2 sont des produits semi-directs de G2 avec N . 66) et le groupe N est engendr´e par un nombre fini de uk ,p avec p ≥ 3 un nombre premier et k ≥ −1. 458). Cette liste est constitu´ee d’une part des groupes G2 apparaissant pour D1 et d’autre part de nouveaux groupes. Pour 1 ≤ i ≤ 19, on note Gd2,i le groupe de la famille D2 dont le sous-groupe G2 est le mˆeme que celui de Gd1,i . 5 Groupes imprimitifs monomiaux d’image A4 dans S4 D’apr`es S. Hessinger, il existe `a conjugaison pr`es un sous-groupe infini monomial d’image A4 dans S4 qui est engendr´e par < a, b, d > et H3 .

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